实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:(1)b−2a−1的值域;(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;(3)a+b-3的值域.

问题描述:

实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:
(1)

b−2
a−1
的值域;
(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;
(3)a+b-3的值域.

由题意知

f(0)>0
f(1)<0
f(2)>0
,则其约束条件为:
b>0
1+a+2b<0
2+a+b>0

∴其可行域是由A(-3,1)、B(-2,0)、C(-1,0)构成的三角形.
∴(a,b)活动区域是三角形ABC中,
(1)令k=
b−2
a−1
,则表达式
b−2
a−1
表示过(a,b)和(1,2)的直线的斜率,
∴斜率kmax
2−0
1+1
=1
kmin
2−1
1+3
1
4

故答案为:(
1
4
,1)
(2)令p=(a-1)2+(b-2)2
则表达式(a-1)2+(b-2)2表示(a,b)和(1,2)距离的平方,
∴距离的平方pmax=(-3-1)2+(1-2)2=17,pmin=(-1-1)2+(0-2)2=8
∴答案为:(8,17).
(3)令z=a+b+3,即要求目标函数z的最值,则只需求函数b=-a+(z+3)截距的最值,
在直角坐标系中,把b=-a图象上或下推动|z+3|个单位即可得到b=-a+(z+3)的图象,
∴zmax=-1+0-3=-4,zmin=-3+1-3=-5
故答案为:(-5,-4)
答案解析:先利用所给的条件得到实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内得到关于(a,b)的约束条件
(1)表达式
b−2
a−1
表示过(a,b)和(1,2)的直线的斜率;
(2)表达式(a-1)2+(b-2)2表示(a,b)和(1,2)距离的平方;
(3)表达式z=a+b-3代表是求目标函数的最值,可以转化求函数b=-a+(z+3)截距的最值.
考试点:函数的值域;二元一次不等式(组)与平面区域.

知识点:如果从单纯的代数角度解决本题,难度很大,基本上是无从下手.若能根据表达式的形式或代表的意义联想到其对应的几何图形,则解决问题就可以取得事半功倍的效果.
斜率的表达形式:k=
d−b
c−a

两点间距离的表达形式:|AB|=
(d−b)2+(c−a)2