实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求： （1）点（a，b）对应的区域的面积； （2）b−2a−1的取值范围； （ 3）（a-1）2+（b-2）2的
问题描述：
实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）点（a，b）对应的区域的面积；
（2）
的取值范围；b−2 a−1
（ 3）（a-1）2+（b-2）2的取值范围．
答
（1）设f（x）=x2+ax+2b，
∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得
，即
f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0
．
b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
∴S△ABC＝
|BC|×yA＝1 2
×1×1＝1 2
，即为点（a，b）对应的区域的面积．1 2
（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则k=
，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率b−2 a−1
∵kAD＝
＝2−1 1+3
，kCD＝1 4
＝1，结合图形可知：kAD＜2−0 1+1
＜kCD，b−2 a−1
∴
的取值范围是(b−2 a−1
，1)；1 4
（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
可得|DE|2=（a-1）2+（b-2）2，表示区域内的点D、E之间距离的平方
运动点E，可得当E在C点时满足|DE|2=（-1-1）2+（0-2）2=8，
在当E在A点满足|DE|2=（-3-1）2+（1-2）2=17．
由此可得（a-1）2+（b-2）2取值范围为：（8，17）．