答
（1）由x+−2＞0得，＞0
解得a＞1时，定义域为（0，+∞）
a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1−或x＞1+}
（2）设g(x)＝x+−2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，
g′(x)＝1−＝＞0恒成立，
∴g(x)＝x+−2在[2，+∞）上是增函数，
∴f(x)＝lg(x+−2)在[2，+∞）上是增函数，
∴f(x)＝lg(x+−2)在[2，+∞）上的最小值为f(2)＝lg；
（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即x+−2＞1对x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x2，而h(x)＝3x−x2＝−(x−
)2+在x∈[2，+∞）上是减函数，
∴h（x）max=h（2）=2，∴a＞2
答案解析：（1）求函数f（x）的定义域，就是）求x+−2＞0，可以通过对a分类讨论解决；
（2）可以构造函数g(x)＝x+−2，当a∈（1，4）时通过导数法研究g（x）在[2，+∞）上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+−2＞1对x∈[2，+∞）恒成立，转化为a是x的函数，即可求得a的取值范围．
考试点：函数恒成立问题；对数函数的定义域；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
知识点：本题考查函数恒成立问题，（1）着重考查分类讨论思想；（2）着重考查复合函数的函数单调性质求最值，方法为导数法；（3）着重考查分离参数法，是一道好题．
