已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y＝−12．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

答

（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，
求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1处的切线为直线y＝−

1

2

．
∴f（1）=1+a+b=-

1

2

，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-

3

2

，b=0，
∴f（x）=x³-

3

2

x²，
（2）f（x）=x³-

3

2

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x³-

3

2

x²=0，可得x=0或x=

3

2

，
∴0＜m＜

3

2

时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥

3

2

时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值m3−

3

2

m2．
答案解析：（1）根据函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，可得f（0）=c=0．求导函数，利用在x=1处的切线为直线y＝−

1

2

，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）f（x）=x³-

3

2

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），确定函数的单调性与极大值，将端点函数值与极大值比较，进行分类讨论，即可求得函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，解题的关键是明确函数的最值在极值处或端点处取得，注意数形结合思想的运用．