已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2X1、X2、X3、...、Xn是正数

1。有a^2+b^2>=2根号ab
得X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）/4≥2根号[X1^2/（X1+X2）×（X1+X2）/4]=X1
X2^2/（X2+X3）+（X2+X3）/4≥2根号[X2^2/（X2+X3）×（X2+X3）/4]=X2
……
Xn^2/（Xn+X1）+（Xn+X1）/4≥2根号[Xn^2/（Xn+X1）×（Xn+X1）/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加，得
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+X2+X3+...+Xn）/2≥X1+X2+X3+...+Xn，即
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)≥（X1+X2+X3+...+Xn）/2=1/2，得证。
2。有a^2+b^2>=2根号ab且X1、X2、X3、...、Xn是正数
只要取a1=X1/根号（X1+X2），a2=X2/根号(X2+X3)，……，an=Xn/根号(Xn+X1)，b1=根号（X1+X2），b2=根号(X2+X3)，……，bn=根号(Xn+X1)，由a1^2+b1^2>=2根号ab代入得X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）》=2x1同理可得....Xn^2/(Xn+X1)+（Xn+X1)>=2xn将n个不等式分别两边相加，得X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+x2+X2+...+Xn）>=2（X1+x2+X2+...+Xn）
由X1+x2+X2+...+Xn=1
得 证

xu_xingwei 的答案已经很不错了，我提供另外一种解法：
记 A = X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)
B = X2^2/（X1+X2）+X3^2/(X2+X3)+X4^2/(X3+X4)+.....+X1^2/(Xn+X1)
则有
A+B = （X1^2+X2^2)/（X1+X2）+(X2^2+X3^2)/(X2+X3)+(X3^2+X4^2)/(X3+X4)+.....+(Xn^2+X1^2)/(Xn+X1)
A-B = ... = (X1+X2)(X1-X2)/(X1+X2)+ (X2+X3)(X2-X3)/(X2+X3)+...(Xn+X1)(Xn-X1)/(Xn+X1) = .. = 0
注意到 X1^2+X2^2 ≥ (X1+X2)^2/2 (这个容易验证，两边想减就OK)
....
从而可得 A+B ≥ (X1+X2)/2 + (X2+X3)/2+...+(Xn+X1)/2 = 1
所以A = （A+B)/2 ≥ 1/2

解答如下:
证法一：均值不等式.
X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）/4≥2根号[X1^2/（X1+X2）×（X1+X2）/4]=X1
X2^2/（X2+X3）+（X2+X3）/4≥2根号[X2^2/（X2+X3）×（X2+X3）/4]=X2
……
Xn^2/（Xn+X1）+（Xn+X1）/4≥2根号[Xn^2/（Xn+X1）×（Xn+X1）/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加,得
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+X2+X3+...+Xn）/2≥X1+X2+X3+...+Xn,即
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)≥（X1+X2+X3+...+Xn）/2=1/2,得证.
证法二：柯西不等式.
(a1^2+a2^2+.+an^2)×(b1^2+b2^2+.+bn^2)≥(a1×b1+a2×b2+.+an×bn)^2
只要取a1=X1/根号（X1+X2）,a2=X2/根号(X2+X3),……,an=Xn/根号(Xn+X1),b1=根号（X1+X2）,b2=根号(X2+X3),……,bn=根号(Xn+X1),再用条件X1+X2+X3+...+Xn=1即得证.