已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=5,AD=3,AA1=7,B∠BAD=60,°∠BAA1=∠DAA1=45°,求AC1的长.(向量方法）
问题描述：
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=5,AD=3,AA1=7,B∠BAD=60,°∠BAA1=∠DAA1=45°,求AC1的长.(向量方法）
答
在四棱柱空间建立三维直角坐标系,四边形ABCD在xy平面内,四边形A1B1C1D1在z轴正方向.A为原点(0,0,0),AB为x轴正方向,则向量AB=(5,0,0).
设D在y轴正方向,因为∠BAD=60°,|AD|=3,则向量AD=(3/2,3√3/2,0).
设向量AA1=(a,b,c).
|AA1|=√(a^2+b^2+c^2)=7；
cos∠BAA1=(5*a+0*b+0*c)/(|AB||AA1|)=a/7=√2/2,解得：a=7√2/2；
cos∠DAA1=[(3/2)*a+(3√3/2)*b+0*c]/(|AD||AA1|)=(a+√3b)/14=√2/2,解得：b=7√6/6.
再将a=7√2/2,b=7√6/6带回√(a^2+b^2+c^2)=7中解得：c=7√3/3.
所以,向量AA1=(7√2/2,7√6/6,7√3/3).
故,向量AC1=向量AA1+向量A1B1+向量B1C1=向量AA1+向量AB+向量AD=(7√2/2,7√6/6,7√3/3)+(5,0,0)+(3/2,3√3/2,0)=((13+7√2)/2,(7√6+9√3)/2,7√3/3).
所以,|AC1|=√(98+56√2).