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在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合）． （1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x，试用含x的代数式表示△AEF

分类: 作业答案 • 2022-08-05 16:36:33
问题描述：

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合）．

（1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x，试用含x的代数式表示△AEF的面积；
（2）是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的长；若不存在，说明理由．

答

（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵EF平分Rt△ABC的周长，AE长为x，
∴AF=

3+4+5
2
-x=6-x，
过F作FD⊥AC于点D，则有Rt△ADF∽Rt△ACB，根据对应边的比相等，可以得到：
FD=
4
5
（6-x）
则S△AEF=-
2
5
x2+
12
5
x（1＜x＜3）
（2）当S△AEF=3时
解之得x1=
6−
6
2
，x2=
6+
6
2

∵1＜x＜3
∴x2=
6+
6
2
（舍去）
当x=
6−
6
2
时，6-x=
6+
6
2
＜5
∴这样的EF存在．

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