过点M(4,0)的直线L交抛物线y^2=4x于点A(X1,Y1),B(X2,Y2),则Y1^2+Y2^2的最小值是
问题描述:
过点M(4,0)的直线L交抛物线y^2=4x于点A(X1,Y1),B(X2,Y2),则Y1^2+Y2^2的最小值是
答
答应是16.(当a=-1/4时).
设直线方程:y=(a-4)x
由联立方程 y=(a-4)x 和 y^2=4x ,将x=y^2/4代入 y=(a-4)x 得到:
ay^2-4y-16a=0
于是:y1+y2=-b/2a=1/a ; y1*y2=(4ac-b~2)/4a=-(16a+4)/a
于是Y1^2+Y2^2=(y1+y2)^2-2y1*y2=1/a^2+8/a+32=(1/a+4)^2+16大于等于16.
当a=-1/4时,取得最小值16.