已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-3（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N*），且b1=2，求数列{bn}的通项公式．
问题描述：
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-3（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N*），且b1=2，求数列{bn}的通项公式．
答
知识点：本题考查了利用数列前n项和与通项关系求通项公式，以及迭代法求通项公式．
（Ⅰ）证明：由Sn=4an-3，n=1时，a1=4a1-3，解得a1=1．
因为Sn=4an-3，则Sn-1=4an-1-3（n≥2），
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4an-4an-1，
整理得an＝
an−1．又a1=1≠0，4 3
所以{an}是首项为1，公比为
的等比数列．4 3
（Ⅱ）因为an＝(
)n−1，4 3
由bn+1=an+bn（n∈N*），得bn+1−bn＝(
)n−1．4 3
可得bn=b1+（b2-b′1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=2+
＝3(1−(
)n−1
4 3 1−
4 3
)n−1−1，（n≥2）．4 3
当n=1时上式也满足条件．
所以数列{bn}的通项公式为bn＝3(
)n−1−1．4 3
答案解析：（Ⅰ）要证明数列为等比数列，只需证明数列的后一项比前一项为常数即可，先根据当n≥2时，an=Sn-Sn-1，求出数列{an}的递推关系式，再求
，得道常数，即可证明．an an−1
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求数列{an}的递推公式，代入bn+1=an+bn（n∈N*），可得数列{bn}的递推公式，再用迭代法，即可求出数列{bn}的通项公式．
考试点：数列递推式；等比关系的确定．
知识点：本题考查了利用数列前n项和与通项关系求通项公式，以及迭代法求通项公式．