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已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1+1/2a2+1/3a3+…+1/n−1an−1(n≥2，n∈N*)．若an=1005，则n=_．

分类: 作业答案 • 2022-07-29 23:52:05
问题描述：

已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1+

1
2
a2+
1
3
a3+…+
1
n−1
an−1(n≥2，n∈N*)．若an=1005，则n=______．

答

由已知得，a1=1，所以有a2=a1=1，
a1＝1，an＝a1+

1
2
a2+
1
3
a3+…+
1
n−1
an−1(n≥2，n∈N*)①，
an+1＝a1+
1
2
a2+
1
3
a3+…+
1
n−1
an−1+
1
n
an②；
②-①得an+1-an=
1
n
an，所以
an+1
an
＝
n+1
n
，n≥2，
于是有：
a3
a2
＝
3
2
，
a4
a3
＝
4
3
，…，
an
an−1
＝
n
n−1
，n≥3，
上述n-2个式子相乘得到，
an
a2
＝
n
2
，所以an=
n
2
，n≥3，所以
当
an
a2
＝
n
2
=1005时，n=2010，
故答案为2010．

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