对实数a和x而言,不等式x3+13a2x>5ax2+9a3成立的充要条件是______
问题描述:
对实数a和x而言,不等式x3+13a2x>5ax2+9a3成立的充要条件是______
答
知识点:考查学生理解函数恒成立时取条件的能力,以及会证明充要条件的能力.
(x3+13a2x)-(5ax2+9a3)
=x3-5ax2+13a2x-9a3
=(x-a)(x2-4ax+9a2)
=(x-a)[(x-2a)2+5a2]>0.
∵当x≠2a≠0时,有(x-2a)2+5a2>0.
由题意故只需x-a>0即x>a,以上过程可逆.
答案解析:先由已知不等式变形得到=(x-a)[(x-2a)2+5a2]>0,因为(x-2a)2+5a2>0.所以得到充分条件x>a;然后再证必要条件,以上过程可逆得证.
考试点:函数恒成立问题;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
知识点:考查学生理解函数恒成立时取条件的能力,以及会证明充要条件的能力.