设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；（2）求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程．
问题描述：
设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程．
答
知识点：本题考查直线和圆的位置关系，直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式的应用，求出点M的坐标是解题的难点，属于难题．
（1）依题意，显然直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，代入 椭圆3x2+y2=λ，整理得 （k2+3 ） x2-2k（k-3）x+（k-3）2-λ=0 ①设 A （ x1，y1 ），B ...
答案解析：（1）可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，代入 椭圆3x2+y2=λ，可得 x1+x2=
，再由线段的中点公式求出 k=1，于是求得直线AB的方程．2k(k−3)
k2+3
（2）用点斜式求得直线CD的方程为 x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-λ=0 ③，利用根与系数的关系和中点公式求得 M（-
，1 2
），再求得M（-3 2
，1 2
）到直线AB的距离 d，即可得到圆的标准方程．3 2
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．
知识点：本题考查直线和圆的位置关系，直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式的应用，求出点M的坐标是解题的难点，属于难题．