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在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A-C）的范围．

分类: 作业答案 • 2022-07-22 21:14:04
问题描述：

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求2sin2A+cos（A-C）的范围．

答

（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴acosC+ccosA=2bcosB，
由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，
即：sin（A+C）=sinB，
∴sinB=2sinBcosB，
又在△ABC中，sinB≠0，
∴cosB=

1
2
，
∵0<B<π，
∴B=
π
3
；
（Ⅱ）∵B=
π
3
，
∴A+C=
2π
3

∴2sin2A+cos(A-C)=1-cos2A+cos(2A-
2π
3
)
=1-cos2A-
1
2
cos2A+
 3
2
sin2A=1+
 3
2
sin2A-
3
2
cos2A
=1+
 3
sin(2A-
π
3
)，
∵0<A<
2π
3
，-
π
3
<2A-
π
3
<π
∴-
 3
2
<sin(2A-
π
3
)≤1
∴2sin2A+cos（A-C）的范围是(-
1
2
，1+
 3
]．
答案解析：（Ⅰ）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B．
（Ⅱ）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos（A-C）的范围．
考试点：正弦定理；等差数列；三角函数的定义域．
知识点：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键就是利用了正弦定理把边的问题转化成了角的问题，利用三角函数的特殊性质求得答案．

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