在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,(Ⅰ)求B的值;(Ⅱ)求2sin2A+cos(A-C)的范围.

问题描述:

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,
(Ⅰ)求B的值;
(Ⅱ)求2sin2A+cos(A-C)的范围.

(Ⅰ)∵acosC,bcosB,ccosA成等差数列,
∴acosC+ccosA=2bcosB,
由正弦定理得,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
代入得:2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB,
即:sin(A+C)=sinB,
∴sinB=2sinBcosB,
又在△ABC中,sinB≠0,
cosB=

1
2

∵0<B<π,
B=
π
3

(Ⅱ)∵B=
π
3

A+C=
3

2sin2A+cos(A-C)=1-cos2A+cos(2A-
3
)

=1-cos2A-
1
2
cos2A+
3
2
sin2A=1+
3
2
sin2A-
3
2
cos2A

=1+
3
sin(2A-
π
3
)

0<A<
3
-
π
3
<2A-
π
3

-
3
2
<sin(2A-
π
3
)≤1

∴2sin2A+cos(A-C)的范围是(-
1
2
,1+
3
]

答案解析:(Ⅰ)根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB,利用正弦定理把边转化成角的正弦,化简整理得sinB=2sinBcosB,求得cosB,进而求得B.
(Ⅱ)先利用二倍角公式对原式进行化简整理,进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos(A-C)的范围.
考试点:正弦定理;等差数列;三角函数的定义域.
知识点:本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键就是利用了正弦定理把边的问题转化成了角的问题,利用三角函数的特殊性质求得答案.