已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,这向量m=(cosB,sinC),n=(cosC,−sinB),且m•n=12.(1)求内角A的大小;(2)若a=23,求△ABC面积S的最大值.
问题描述:
已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,这向量
=(cosB,sinC),
m
=(cosC,−sinB),且
n
•
m
=
n
.1 2
(1)求内角A的大小;
(2)若a=2
,求△ABC面积S的最大值.
3
答
知识点:本题考点是解三角形,考查数量积的坐标表示做工,基本不等式的运用,余弦定理,余弦的和角公式,涉及到的公式较多,综合性较强,解题的关键是熟练掌握公式及由题意判断出解题的方向,本题的难点是由三角形的面积公式得出利用基本不等式求bc的最值,本题考察了利用公式灵活变形的能力及判断推理的能力
(1)∵
•
m
=cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=
n
,…(3分)1 2
又A、B、C为三角形的三个内角,
∴B+C=60°,∴A=120°.…(7分)
(2)∵a=2
,a2=b2+c2-2bccosA,
3
∴b2+c2+bc=12,…(10分)
又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),
∴12≥3bc,
∴bc≤4…(12分)
∴S=
bcsinA=1 2
bc≤
3
4
×4=
3
4
.…(13分)
3
∴当b=c时,三角形ABC的面积S的最大值为
.…(14分)
3
答案解析:(1)由题意,可由数量积公式及
•
m
=
n
建立方程,得到cosBcosC-sinBsinC=1 2
,再利用余弦的和角公式化简即可得角A;1 2
(2)由a=2
及(1)可得b2+c2+bc=12,由S=
3
bcsinA知,可由基本不等式由b2+c2+bc=12求出bc的最大值,从而解出三角形面积的最大值.1 2
考试点:平面向量数量积的运算;正弦定理;解三角形.
知识点:本题考点是解三角形,考查数量积的坐标表示做工,基本不等式的运用,余弦定理,余弦的和角公式,涉及到的公式较多,综合性较强,解题的关键是熟练掌握公式及由题意判断出解题的方向,本题的难点是由三角形的面积公式得出利用基本不等式求bc的最值,本题考察了利用公式灵活变形的能力及判断推理的能力