已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,这向量m=(cosB,sinC),n=(cosC,−sinB),且m•n=12.(1)求内角A的大小;(2)若a=23,求△ABC面积S的最大值.

问题描述:

已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,这向量

m
=(cosB,sinC),
n
=(cosC,−sinB),且
m
n
1
2

(1)求内角A的大小;
(2)若a=2
3
,求△ABC面积S的最大值.

(1)∵

m
n
=cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=
1
2
,…(3分)
又A、B、C为三角形的三个内角,
∴B+C=60°,∴A=120°.…(7分)
(2)∵a=2
3
,a2=b2+c2-2bccosA,
∴b2+c2+bc=12,…(10分)
又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),
∴12≥3bc,
∴bc≤4…(12分)
∴S=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
3
4
×4=
3
.…(13分)
∴当b=c时,三角形ABC的面积S的最大值为
3
.…(14分)
答案解析:(1)由题意,可由数量积公式及
m
n
1
2
建立方程,得到cosBcosC-sinBsinC=
1
2
,再利用余弦的和角公式化简即可得角A;
(2)由a=2
3
及(1)可得b2+c2+bc=12,由S=
1
2
bcsinA知,可由基本不等式由b2+c2+bc=12求出bc的最大值,从而解出三角形面积的最大值.
考试点:平面向量数量积的运算;正弦定理;解三角形.

知识点:本题考点是解三角形,考查数量积的坐标表示做工,基本不等式的运用,余弦定理,余弦的和角公式,涉及到的公式较多,综合性较强,解题的关键是熟练掌握公式及由题意判断出解题的方向,本题的难点是由三角形的面积公式得出利用基本不等式求bc的最值,本题考察了利用公式灵活变形的能力及判断推理的能力