过椭圆x216+y24=1内一点M(1,1)的弦AB.(1)若点M恰为弦AB的中点,求直线AB的方程;(2)求过点M的弦的中点的轨迹方程.
问题描述:
过椭圆
+x2 16
=1内一点M(1,1)的弦AB.y2 4
(1)若点M恰为弦AB的中点,求直线AB的方程;
(2)求过点M的弦的中点的轨迹方程.
答
(1)设直线AB的斜率为k,则AB的方程可设为y-1=k(x-1).y-1=k(x-1)x216+y24=1得x2+4(kx+1-k)2=16得(1+4k2)x2+8k(1-k)x+4(1-k2)-16=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k(k-1)1+4k2,而M(1,1)是AB中点,则...
答案解析:本题考查的知识点是直线的一般式方程及动点轨迹方程的求法,(1)由于弦AB过点M(1,1),故我们可设出直线AB的点斜式方程,联立直线与圆的方程后,根据韦达定理(根与系数的关系),我们结合点M恰为弦AB的中点,可得到一个关于斜率k的方程,解方程求出k值后,代入整理即可得到直线AB的方程.(2)设AB弦的中点为P,则由A,B,M,P四点共线,易得他们确定直线的斜率相等,由此可构造一个关于x,y的关系式,整理后即可得到过点M的弦的中点的轨迹方程.
考试点:直线的一般式方程;轨迹方程.
知识点:在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.