已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(4,-1),与y轴交于点C(0,3),O是原点.(1)求这条抛物线的解析式;(2)设此抛物线与x轴的交点为A,B(A在B的左边),问在y轴上是否存在点P,使以O,B,P为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

问题描述:

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(4,-1),与y轴交于点C(0,3),O是原点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)设此抛物线与x轴的交点为A,B(A在B的左边),问在y轴上是否存在点P,使以O,B,P为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)可设y=a(x-4)2-1,(2分)∵交y轴于点C(0,3),∴3=16a-1,(3分)∴a=14,∴抛物线的解析式为y=14(x-4)2-1,即∴y=14x2-2x+3.(4分)(2)存在.(5分)当y=0,则14(x-4)2-1=0,∴x1=2,x2=6,(6分...
答案解析:(1)因为抛物线的顶点坐标为(4,-1),所以可设其顶点式,再把点C(0,3)代入即可求出未知数的值从而求出其解析式.
(2)先求出A、B两点的坐标,设出P点坐标,根据对应角相等的情况,列出两组比例式解答.
考试点:二次函数综合题.


知识点:此题不仅考查了用待定系数法求二次函数解析式,还是一道开放性题目.
要求同学们通过观察进行猜想,假设结论成立,并进行计算,验证猜想的正确性.