已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(4,-1),与y轴交于点C(0,3),O是原点. (1)求这条抛物线的解析式; (2)设此抛物线与x轴的交点为A,B(A在B的左边),问在y轴上是否存在点P,使

问题描述:

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(4,-1),与y轴交于点C(0,3),O是原点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)设此抛物线与x轴的交点为A,B(A在B的左边),问在y轴上是否存在点P,使以O,B,P为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)可设y=a(x-4)2-1,(2分)
∵交y轴于点C(0,3),
∴3=16a-1,(3分)
∴a=

1
4

∴抛物线的解析式为y=
1
4
(x-4)2-1,
即∴y=
1
4
x2-2x+3.(4分)
(2)存在.(5分)
当y=0,则
1
4
(x-4)2-1=0,
∴x1=2,x2=6,(6分)
∴A(2,0),B(6,0),
设P(0,m),则OP=|m|在△AOC与△BOP中,
①若∠OCA=∠OBP,则△BOP∽△COA,
OB
OC
=
OP
OA
,OP=
6×2
3
=4,
∴m=±4;(7分)
②若∠OCA=∠OPB,则△BOP∽△AOC,
OP
OC
=
OB
OA
,OP=
6×3
2
=9,
∴m=±9,(7分)
∴存在符合题意的点P,其坐标为(0,4)、(0,-4)、(0,9)或(0,-9).(10分)