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如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：s）．（1）当t为何值时，⊙P与AB相切；（2）作PD⊥AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点E，证明：当t＝165s时，四边形PDBE为平行四边形．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 12:07:57
问题描述：

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：s）．
（1）当t为何值时，⊙P与AB相切；
（2）作PD⊥AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点E，证明：当t＝

16
5
s时，四边形PDBE为平行四边形．

答

作业帮（1） 当⊙P在移动中与AB相切时，
设切点为M，连接PM，则∠AMP=90°，
∴△APM∽△ABC，
∴

AP
AB
=
PM
BC
，
∵AP=t，AB=
 AC2+BC2
=5，
∴
t
5
=
1
3
，
∴t=
5
3
．（4分）
（2）证明：∵BC⊥AC，PD⊥AC，
∴BC∥DP，
当t=
16
5
s时，AP=
16
5
，
∴PC=4-
16
5
=
4
5
，
∴EC=
 PE2-PC2
=
 12-(
4
5
)2
=
3
5

∴BE=BC-EC=3-
3
5
=
12
5
，
∵△ADP∽△ABC，
∴
PD
BC
=
AP
AC
，
∴
PD
3
=
16
5
4
，
∴PD=
12
5
，
∴PD=BE，
∴当t=
16
5
s时，四边形PDBE为平行四边形．
答案解析：（1）当⊙P在移动中与AB相切时，设切点为M，连接PM，根据△APM∽△ABC可求得t的值；
（2）由BC⊥AC，PD⊥AC，易得BC∥DP，再分别求得PD、BE的值，证明其相等，即可得出四边形PDBE为平行四边形的结论．
考试点：切线的性质；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．
知识点：此题主要考查切线的性质、相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定．

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