)如图,∠ABC＝90°,AB＝BC,D为AC上一点,分别过A.C作BD的垂线,垂足分别为E.F,求证：EF＝CF－AE.

EF=EB-FB
EB²=AB²-AE²
FB²=BC²-CF²
因为AB=BC
EF²=EB²-FB²=CF²-AE²

∵∠ABE＋∠FBC=∠BCF+∠FBC=90度（已知）
∴∠FBC=∠ABE（等量代换）
在△AEB和△BFC中
∠AEB=∠BFC（已证）
∠FBC=∠ABE（已证）
AB=BC（已知）
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE=BF，CF=BE
EF+BF=CF
即EF=CF－AE

证明：
∵∠ABE＋∠FBC=∠BCF+∠FBC=90度
∴∠FBC=∠ABE
在△AEB和△BFC中
∠AEB=∠BFC=90度
∠FBC=∠ABE
AB=BC
∴△AEB≌△BFC
∴AE=BF，CF=BE
EF+BF=CF
即EF=CF－AE

∵CF⊥BE AE⊥BE
∴∠CFE=∠AEF=90
∵AB=BC
∴ ∠BAC= ∠BCA
∴∠BAC= ∠BCA=(180- ∠ABC)/2=90/2=45
∵ ∠BAE+ ∠ABE=90 ∠FBC=FCB=90 ∠ABE+∠FBC=90
∴ ∠BAE=∠FCB
在△ABE与△BFC中
∠CFE=∠AEF
∠BAE=∠FCB
AB=AC
△ABE≌△BFC
∴AE=BF BE=CF
∴EF=EB-BF=CF-AE

证明：
∵∠ABE＋∠FBC=∠BCF+∠FBC=90度
∴∠FBC=∠ABE
在△AEB和△BFC中
∠AEB=∠BFC=90度
∠FBC=∠ABE
AB=BC
∴△AEB≌△BFC
∴AE=BF,CF=BE
EF+BF=CF
即EF=CF－AE