如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB.(1)在BC边上找一点P,使BP=BA,分别过点B,P作AC的垂线BD,PE,垂足为D,E;(2)在四条线段AD,BD,DE,PE中,某些线段之间存在一定的数量关系.请你写出一个等式表示这个数量关系(等式中含有其中的2条或3条线段),并说明等式成立的理由.

问题描述:

如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB.

(1)在BC边上找一点P,使BP=BA,分别过点B,P作AC的垂线BD,PE,垂足为D,E;
(2)在四条线段AD,BD,DE,PE中,某些线段之间存在一定的数量关系.请你写出一个等式表示这个数量关系(等式中含有其中的2条或3条线段),并说明等式成立的理由.

(1)如图;
(2)BD=DE;
理由:过P作PF⊥BD于F,则四边形DFPE为矩形,PF=DE,
∵∠ABD+∠DBC=90°,∠A+∠ABD=90°,
∴∠A=∠DBC.
在△ABD和△BPF中,

∠ADB=∠BFP
AB=BP
∠A=∠FBP

∴△ABD≌△BPF
∴BD=PF
∴BD=DE.
答案解析:根据观察应该是BD=DE,要证明BD=DE,就是证明BD=PF,也就是证明△ABD和△PBF全等.∠ABD+∠DBC=90°,∠A+∠ABD=90°可得出∠A=∠DBC.又已知了BP=BA,三角形ABD和PBF中又都有一个直角,因此两三角形全等.
考试点:全等三角形的判定与性质.
知识点:此题考查简单的线段相等,可以通过全等三角形来证明,要注意利用此题中的图形条件,同角的余角相等.