如图，AE是△ABC外接圆O的直径，AD是△ABC的边BC上的高，EF⊥BC，F为垂足．（1）求证：BF=CD；（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直径．
问题描述：
如图，AE是△ABC外接圆O的直径，AD是△ABC的边BC上的高，EF⊥BC，F为垂足．
（1）求证：BF=CD；
（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直径．
答
知识点：此题主要考查了三角形的外接圆、平行线分线段成比例定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，综合性强，难度适中．
（1）证明：过O作OM⊥BC于M，则CM=BM；
∵AD⊥BC，EF⊥BC，OM⊥BC，
∴AD∥OM∥EF，
又∵OA=OE，
∴DM=MF，故CM-DM=BM-MF，即BF=CD．
（2）连接BE，则∠ABE=90°；
在Rt△ABD中，AD=3，BD=6，由勾股定理得：
AB=
=3
AD2+BD2
；
5
同理可求得：AC=
．
10
∵∠C=∠AEB，∠ADC=∠ABE=90°，
∴△ADC∽△ABE，
∴
＝AD AB
，即AC AE
＝3 3
5
，解得AE=5
10
AE
；
2
即⊙O的直径为5
．
2
答案解析：（1）过O作OM⊥BC于M，易得AD∥OM∥EF，由于AO=OE，根据平行线分线段成比例定理可得DM=FM；由垂径定理知：BM=CM，即可证得CD=BF．
（2）首先由勾股定理求得AB、AC的长，连接BE，通过相似三角形△ACD∽△AEB得到的比例线段，即可求得⊙O的直径．
考试点：三角形的外接圆与外心；垂径定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．
知识点：此题主要考查了三角形的外接圆、平行线分线段成比例定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，综合性强，难度适中．