若点N(a,b)满足方程关系式a2+b2-4a-14b+45=0,则u=b−3a+2的最大值为 _ .

问题描述:

若点N(a,b)满足方程关系式a2+b2-4a-14b+45=0,则u

b−3
a+2
的最大值为 ___ .

方程a2+b2-4a-14b+45=0,即 (a-2)2+(b-7)2=8,表示圆心在(2,7),半径等于2

2
 的一个圆.
μ=
b-3
a+2
表示圆上的点( a,b)与点(-2,3)连线的斜率.
设过(-2,3)的圆的切线斜率为 k,则切线方程为  y-3=k(x+2),即  kx-y+2k+3=0,
由圆心到切线的距离等于半径得
|2k-7+2k+3|
k2+1
=2
2
,解得 k=2+
3
,或 k=2-
3

∴2-
3
≤μ≤2+
3
 故μ=
b-3
a+2
的最大值为2+
3

故答案为:2+
3