在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点． （1）求证：BF∥平面AD1E； （2）求证：D1E⊥平面AEC．
问题描述：
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点．
（1）求证：BF∥平面AD1E；
（2）求证：D1E⊥平面AEC．
答
证明：（1）取DD1的中点G，连接GB，GF．∵E、F分别是棱BB1、DA的中点，
∴GF∥AD1，BE∥D1G且BE=D1G，∴四边形BED1G为平行四边形，∴BG∥D1E．
又D1E、D1A⊂平面AD1E，BG、GF⊄平面AD1E，∴BG∥平面AD1E，GF∥平面AD1E．
∵BG、GF⊂平面BGF，且BG∩GF=G，∴平面BGF∥平面AD1E．
∵BF⊂平面BGF，∴BF∥平面AD1E．
（2）∵AA1=2，A1D1=1，∴AD1＝
＝
A
+A1
A
21
D
21
．
5
同理可得：AE＝
，D1E＝
2
．∵A
3
＝D1E2+AE2 ，∴D1E⊥AE．
D
21
同理可证得D1E⊥CE．
又AE∩CE=E，AE⊂平面AEC，CE⊂平面AEC，∴D1E⊥平面AEC．