过椭圆X^/5 + Y^/4 =1的左焦点做椭圆的弦 求弦中点的轨迹方程看下

设弦交椭圆的点为A1(x1,y1);A2(x2,y2)中点坐标为（x,y);x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
设直线方程为y=k(x+3)
椭圆x²/5+y²/4=1的左焦点(-3,0)
x1²/5+y1²/4=1
x2²/5+y2²/4=1
两式做差k=(y1-y2)/(x1-x2)=-4(x1+x2)/5(y1+y2)=-4x/5y
把k=-4x/5y代入y=k(x+3)
化简得4(x+3/2)²/9+5y²/9=1

点差法：
左焦点(-1,0)
设过左焦点的直线l:y=k(x+1)，与椭圆相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，弦中点为M(x0,y0)
AB满足椭圆方程，则
x1^/5 + y1^/4 = 1
x2^/5 + y2^/4 = 1
两式相减，得 (x1-x2)(x1+x2)/5+(y1-y2)(y1+y2)/4 = 0
所以，k = (y1-y2)/(x1-x2)=-4/5 * (x1+x2)/(y1+y2)
x1+x2=2x0
y1+y2=2y0
代入上式，得 k=-4/5 * x0/y0
又因为，中点M在直线l上
所以满足直线方程y0=k(x0+1)
将k 代入上式，解得最后答案为 4(x0+1/2)^2 + 5y0^2 = 1
所以弦中点轨迹方程为 4(x+1/2)^2 + 5y^2 = 1 （原椭圆内部部分）
注意x范围，中点一定在椭圆内部，所以轨迹方程为原椭圆内部部分

设A(x1,y1) B(x2,y2),中点M(x,y)有斜率时A、B坐标是椭圆上的点代入椭圆方程作差得(点差法)(y/x)*KAB=-4/5 KAB表示AB斜率又KAB=y/（x+1）y^2/x（x+1）=-4/55y^2+4x^2+4x=0 无斜率时,AB中点为F1也适合此方程.所以,中点...

a²=5
b²=4
c²=5-4=1
所以左焦点(1,0)
y=k(x-1)
代入4x²+5y²=20
(5k²+4)x²-10k²x+5k²-20=0
x1+x2=10k²/(5k²+4)
y=kx-k
所以y1+y2=kx1-k+kx2-k
=k(x1+x2)-2k
=-8k/(5k²+4)
中点x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
所以x/y=-5k/4
中点在y=k(x-1)上
所以k=y/(x-1)
所以x/y=(-5/4)[y/(x-1)]
-5y²=4x(x-1)
4x²-5y²-4x=0