四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD,AB‖CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=根号3,∠ACB=90°BC⊥平面PAC,求二面角D-PC-A的正切值

首先观察底面图形,AB‖CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,

则〈ADC=60度,△ADC是正△,

AC=1,

∠ACB=90°,〈CAB=120度-60度=60度,〈B=30度,

AB=2AC=2,BC=√3,

PA⊥底面ABCD,故PA垂直平面ABCD上的直线,

三角形PAB是直角三角形,根据勾股定理,PB=√7,

三角形PCB是直角三角形PC=2,

三角形PAD是直角三角形,PD=2,

PA⊥平面ABCD,PA∈平面PAC,

故平面PAC⊥平面ABCD,

取AC的中点E,连结DE、PE,则DE⊥AC,

则DE⊥平面PAC,（两个平面相垂直,若一个平面内直线垂直交线,必垂直另一个平面）,

△PEC是△PDC在平面APC上的投影,

S△PEC=S△PAC/2=（PA*AC/2）/2=√3*1/2/2=√3/4,

PD=PC=2,△PDC是等腰△,作PF⊥DC,DF=1/2,PF=√（PD^2-DF^2）=√15/2,

S△PDC=CD*PF/2=1*√15/2/2=√15/4,

设D-PC-A二面角的平面角为θ,

则S△PCD*cosθ=S△PCE,

(√15/4)*cosθ=√3/4,

cosθ=1/√5,

sinθ=√[1-(cosθ)^2]=2/√5

tanθ=sinθ/cosθ=2.

∴ 二面角D-PC-A的正切值为2.