在△ABC中，若sinBsinA=2cos（A+B），则tanB的最大值是（ ）A. 33B. 22C. 1D. 2
问题描述：
在△ABC中，若
=2cos（A+B），则tanB的最大值是（ ）sinB sinA
A.
3
3
B.
2
2
C. 1
D. 2
答
△ABC中，∵sinA＞0，sinB＞0，∴sinBsinA=2cos（A+B）=-2cosC＞0，即cosC＜0，∴C为钝角，sinB=-2sinAcosC．又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC，即cosAsinC=-3sinAcosC，∴tanC...
答案解析：由条件求得cosC＜0，确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，得到sinB=-2sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），化简得到tanC=-3tanA，将tanB化简为-tan（A+C），利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanC=-3tanA代入，变形后利用基本不等式求出tanB的范围，即可得到tanB的最大值．
考试点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用．
知识点：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键，属于中档题．