在△ABC中,若sinBsinA=2cos(A+B),则tanB的最大值是( )A. 33B. 22C. 1D. 2
问题描述:
在△ABC中,若
=2cos(A+B),则tanB的最大值是( )sinB sinA
A.
3
3
B.
2
2
C. 1
D. 2
答
△ABC中,∵sinA>0,sinB>0,∴sinBsinA=2cos(A+B)=-2cosC>0,即cosC<0,∴C为钝角,sinB=-2sinAcosC.又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC,即cosAsinC=-3sinAcosC,∴tanC...
答案解析:由条件求得cosC<0,确定出C为钝角,利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边,得到sinB=-2sinAcosC,再由sinB=sin(A+C),化简得到tanC=-3tanA,将tanB化简为-tan(A+C),利用两角和与差的正切函数公式化简,将tanC=-3tanA代入,变形后利用基本不等式求出tanB的范围,即可得到tanB的最大值.
考试点:两角和与差的余弦函数;同角三角函数基本关系的运用.
知识点:此题考查了同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦、正切函数公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键,属于中档题.