已知A.B和P（2.4）都在抛物线y=-1/2x2 + m上,且直线PA和PB的倾斜角互补,求证：直线AB 的斜率为定值
问题描述：
已知A.B和P（2.4）都在抛物线y=-1/2x2 + m上,且直线PA和PB的倾斜角互补,求证：直线AB 的斜率为定值
答
p点代入抛物线得m=6 抛物线方程y=1/2x^2+6 PA斜率必然存在且不为0 设PA方程y-4=k(x-2),PB方程y-4=-k（x-2) 解释下；因为PA和PB的倾斜角互补，tanA=tan(180-B),kPA=-kPB 设A（x1,y1)B(x2,y2),那么y1=1/2x1^2+6,y2=1/2x2^2+6 再用点差法 即两式相减 y1-y2=1/2(x1+x2)(x1-x2) 同除x1-x2
则k=y1-y2/x1-x2=1/2(x1+x2) 把PA直线方程y=k(x-2）=4代入抛物线
得x^2+2kx-4k-4=0 x1+2=-2k 同理PB代入抛物线后化简：x^2-2kx+4k-4=0
x2+2=2k 所以x1+x2=-2k-2+2k-2=-4 所以k=2定值
答
将P带入函数，求得m，然后求P电的斜率，倾斜角互补，两者斜率乘积为-1
答
假设PA的斜率为K,则PB的斜率为-K,所以PA直线方程为y-4=k(x-2),代入抛物线方程可得x=(-2k-2)或2,所以A的横坐标为x=-2k-2,同理可得B的横坐标为x=2k-2,再设A（X1,Y1）,B（X2,Y2）,所以有Y1=6-1/2*X1*X1,Y2=6-1/2*X2*X2,联立可得（Y1-Y2）/(X1-X2)=-1/2(X1+X2)=2,所以AB的斜率为定值2.