已知,如图,平面直角坐标系xoy中,点A·B的坐标分别为A(4,0),B(0,-4),P为y轴上B点下方一点,PB=m(m大于0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,点M落在第四象限.(1)求直线AB的解析式;(2)求出点M的坐标和三角形ABM的面积(均用m的代数式表示);(3)若直线MB与x轴交于点Q,判断三角形ABQ的面积是否为定值,若是,请求出这个定值;若不是请说明理由.

问题描述:

已知,如图,平面直角坐标系xoy中,点A·B的坐标分别为A(4,0),B(0,-4),P为y轴上B点下方一点,
PB=m(m大于0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,点M落在第四象限.(1)求直线AB的解析式;(2)求出点M的坐标和三角形ABM的面积(均用m的代数式表示);(3)若直线MB与x轴交于点Q,判断三角形ABQ的面积是否为定值,若是,请求出这个定值;若不是请说明理由.

图呢


1、设点A(X1,Y1),点B(X2,Y2),则直线AB的解析式:(X-X1)/(X1-X2)=(Y-Y1)/(Y1-Y2),将A(4,0),B(0,-4)带入,解得,y=x-4

2、
(1)过点M做直线MH⊥BP,交于Y轴的H点。
∵角APM是直角,PHM也是直角,且AP=PM,所以三角形PAO全等于MPH,所MH=OP=4+m,PH=OA=4
∴M(4+m,8+m)
(2)三角形ABM的面积可以用梯形AOHM的面积减去三角形AOB和三角形BHM的面积求得。
梯形AOHM面积=(OA+MH)×OH÷2=(4+4+m)×(8+m)÷2=1/2(8+m)(8+m)
三角形AOB面积=OA×OB÷2=4×4÷2=8
三角形BHM面积=BH×MH÷2=(4+m)×(4+m)÷2
所以三角形ABM面积=梯形AOHM面积-三角形AOB面积-三角形BHM面积=1/2(8+m)(8+m)-8-(4+m)×(4+m)÷2=4m+16
3、用上面第1小题的方法,求的直线MB的解析式:X/(4+m)=(y+4)/(12+m),将y=0带入,解得点Q的坐标为((16+4m)/(12+m),0)
那么三角形ABQ的面积=1/2(AQ×OB)=1/2{[4+(16+4m)/(12+m)]×4}=16(8+m)/(12+m)所以,三角形ABQ的面积和m有关,其面积不是定值。

(1)点A(4,0)和点B(0,-4)在Y=KX+b上
所以0=4K+b,-4=b所以K=1所以Y=X-4
(2)在RT三角形APM中,过M点做ME垂直于Y轴交与点E
所以ME=AO=4,因为角AMP=45度,角PME=45度PE=ME=4
所以OE=PE+BP+OB= 4+m+4=8+m所以M为(4,8+m)
S三角形ABM=4*(8+m)*1/2=4+2m
(3)是,S三角形ABQ=4*8*1/2=16

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