已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的右焦点是F,又顶点是A,虚轴的上端点是B,
问题描述：
已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的右焦点是F,又顶点是A,虚轴的上端点是B,
AB向量*AF向量=6-4√3,∠BAF=150度
(1)求双曲线的方程
(2)设Q是双曲线上的一点,且过点F.Q的直线L与Y轴交于点M,若MQ向量+2QF向量=0,求直线L的斜率.
答
(1)A是右顶点 B是虚轴上顶点 F右焦点
A(a,0) B(0,b) F(c,0)
角BAF等于150°,那么BAO=30度
OAB是个直角三角形,所以OA=OB√3,
即a=b√3
c²=a²+b²=4b²⇒c=2b
向量AB=(-a,b)=(-b√3,b)
向量AF=(c-a,0)=(2b-√3b,0)
向量AB•向量AF=6-4√3
⇒(3-2√3)b²=6-4√3⇒b=√2
⇒c=2√2,a=√6
所求双曲线方程 x²/6-y²/2=1
2.直线设为y=k(x-2√2)
那么M坐标(0,-2k√2)
设Q(x,y)
MQ向量=(x,y+2k√2)
QF向量=(2√2-x,-y)
MQ向量+2QF向量=0
x+2(2√2-x)=0
y+2k√2-2y=0
解得x=4√2 y=2k√2
Q是双曲线上的点,x=4√2 带入双曲线方程
32/6-y²/2=1
y²=26/3
y=±√78/3=2k√2
那么k=±√39/6