若x，y是正数，则(x+12y)2+(y+12x)2的最小值是（ ）A. 3B. 72C. 4D. 92
问题描述：
若x，y是正数，则(x+
)2+(y+1 2y
)2的最小值是（ ）1 2x
A. 3
B.
7 2
C. 4
D.
9 2
答
∵x，y是正数，
∴(x+
)2+(y+1 2y
)2≥2（xy+1 2x
+1），1 4xy
等号成立的条件是x+
=y+1 2y
，1 2x
解得x=y，①
又xy+
≥21 4xy
=1
xy×
1 4xy
等号成立的条件是xy=
②1 4xy
由①②联立解得x=y=
，
2
2
即当x=y=
时(x+
2
2
)2+(y+1 2y
)2的最小值是41 2x
故应选C．
答案解析：连续用基本不等式求最小值，由题设知(x+
)2+(y+1 2y
)2≥2（x+1 2x
）×（y+1 2y
）整理得知(x+1 2x
)2+(y+1 2y
)2≥2（xy+1 2x
+1），其中等号成立的条件是x=y，又xy+1 4xy
≥21 4xy
=1等号成立的条件是xy=
xy×
1 4xy
与x=y联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是x=y=1 4xy
，计算出最值是4
2
2
考试点：基本不等式在最值问题中的应用．
知识点：本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到．本题是一道易错题．