若x,y是正数,则(x+12y)2+(y+12x)2的最小值是(  )A. 3B. 72C. 4D. 92

问题描述:

若x,y是正数,则(x+

1
2y
)2+(y+
1
2x
)
2
的最小值是(  )
A. 3
B.
7
2

C. 4
D.
9
2

∵x,y是正数,∴(x+12y)2+(y+12x)2≥2(xy+14xy+1),等号成立的条件是x+12y=y+12x,解得x=y,①又xy+14xy≥2xy×14xy=1等号成立的条件是xy=14xy②由①②联立解得x=y=22,即当x=y=22时(x+12y)2+(y+12x)2的最小值是4...
答案解析:连续用基本不等式求最小值,由题设知(x+

1
2y
)2+(y+
1
2x
)
2
≥2(x+
1
2y
)×(y+
1
2x
)整理得知(x+
1
2y
)
2
+(y+
1
2x
)
2
≥2(xy+
1
4xy
+1),其中等号成立的条件是x=y,又xy+
1
4xy
≥2
xy×
1
4xy
=1等号成立的条件是xy=
1
4xy
与x=y联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是x=y=
2
2
,计算出最值是4
考试点:基本不等式在最值问题中的应用.
知识点:本题考查基本不等式,解题过程中两次运用基本不等式,注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同,若相同时,代数式才能取到计算出的最小值,否则最小值取不到.本题是一道易错题.