已知函数f（x）=tanx，x∈（0，π2）．若x1，x2∈（0，π2），且x1≠x2，证明12[f（x1）+f（x2）]＞f（x1+x22）
问题描述：
已知函数f（x）=tanx，x∈（0，
）．若x1，x2∈（0，π 2
），且x1≠x2，π 2
证明
[f（x1）+f（x2）]＞f（1 2
）
x1+x2
2
答
证明：tanx1+tanx2=
+sinx1
cosx1
=sinx2
cosx2
sinx1cosx2+cosx1sinx2
cosx1cosx2
=
=sin(x1+x2) cosx1cosx2
2sin(x1+x2) cos(x1+x2)+cos(x1-x2)
∵x1，x2∈（0，
），x1≠x2，π 2
∴2sin（x1+x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1-x2）＜1，
从而有0＜cos（x1+x2）+cos（x1-x2）＜1+cos（x1+x2），
由此得tanx1+tanx2＞=
，∴2sin(x1+x2) 1+cos(x1+x2)
（tanx1+tanx2）＞tg1 2
，
x1+x2
2
即
[f（x1）+f（x2）]＞f（1 2
）．
x1+x2
2
答案解析：欲证不等式的左边是
（tgx1+tgx2），将正切化成正余弦，通分后利用三角函数的和角公式和积化和差公式，结合三角函数的有界性进行放缩，最后利用半角公式即可证得．1 2
考试点：已知三角函数模型的应用问题；三角函数的和差化积公式．
知识点：本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．