数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an-an-1（n≥2），若an+Sn=n．（1）设cn=an-1，求证：数列{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式．
问题描述：
数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an-an-1（n≥2），若an+Sn=n．
（1）设cn=an-1，求证：数列{cn}是等比数列；
（2）求数列{bn}的通项公式．
答
（1）证明：∵a1=S1，an+Sn=n，∴a1+S1=1，得a1=
．1 2
又an+1+Sn+1=n+1，两式相减得2（an+1-1）=an-1，即
=
an+1−1
an−1
，1 2
也即
=cn+1 cn
，故数列{cn}是等比数列．1 2
（2）∵c1=a1-1=-
，1 2
∴cn=-
，an=cn+1=1-1 2n
，an-1=1-1 2n
．1 2n−1
故当n≥2时，bn=an-an-1=
-1 2n−1
=1 2n
．1 2n
又b1=a1=
，即bn=1 2
（n∈N*）．1 2n
答案解析：（1）先根据an+Sn=n求出a1的值，再由an+1+Sn+1=n+1和an+Sn=n两式相减可得到2（an+1-1）=an-1，即
=
an+1−1
an−1
，再由cn=an-1可得到数列{cn}是等比数列，得证．1 2
（2）先根据数列{cn}是等比数列求出数列{cn}的通项公式，进而可得到数列{an}的通项公式，然后由bn=an-an-1可得到bn的通项公式．
考试点：等比关系的确定；数列递推式．
知识点：本题主要考查等比数列的证明和求数列的通项公式，考查基础知识的综合运用．