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已知函数f（x）=sin（x-π3）+3cos（x-π3）．（1）求f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；（2）设函数g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

分类: 作业答案 • 2022-06-15 20:49:43

问题描述：

已知函数f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cos（x-

π

3

）．
（1）求f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

答

（1）由题意得，f（x）=2[

1

2

sin（x-

π

3

）+

3

2

cos（x-

π

3

）]
=2sin（x-

π

3

+

π

3

）=2sinx，
∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是：[0，

π

2

]，[

3π

2

，2π]；
（2）由（1）得，g（x）=2sinx（1+sinx）=2sinx+2sin²x
设t=sinx，则t∈[-1，1]，
∴h（t）=2t²+2t=2(t+

1

2

)2−

1

2

，
当t=−

1

2

时，函数取到最小值是：−

1

2

，
当t=1时，函数取到最大值是：4，
则g（x）的值域是[−

1

2

，4]．