在三角形ABC中,求证：tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanA/2tanC/2=1

令三角形ABC的三边 BC=a AC=b AB=c
三角形的周长的一半p=1/2(a+b+c) 三角形的内切圆半径为r
则tan(A/2)=r/(p-a)
tan(B/2)=r/(p-b)
tan(C/2)=r/(p-c)
tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanA/2tanC/2=r^2*[1/(p-a)(p-b)+1/(p-b)(p-c)+1/(p-a)(p-c)]=r^2*p/(p-a)(p-b)(p-c)
=(r*p)^2/[p(p-a)(p-b)(p-c)]=(SΔABC^2)/(SΔABC^2)=1

tanB/2=tan(π-A-C)/2=tan[π/2-(A+C)/2]=cot(A+C)/2
=(1-tanA/2*tanC/2)/(tanA/2+tanC/2)
因此tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanA/2tanC/2
=tanB/2(tanA/2+tanC/2)+tanA/2tanC/2
=[(1-tanA/2*tanC/2)/(tanA/2+tanC/2)]*(tanA/2+tanC/2)+tanA/2tanC/2
=1-tanA/2tanC/2+tanA/2tanC/2
=1