在三角形ABC中,设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=(4+5cos(2C))/(5+4cos(2C))
问题描述:
在三角形ABC中,设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=(4+5cos(2C))/(5+4cos(2C))
答
tanA+tanC=2tanB.即sinA/cosA+sinC/cosC=2sinB/cosB
等号左边转化为sin(A+C)/cosA*cosC=sinB/cosA*cosC
所以cosB=2cosA*cosC即sinA*sinC=3cosA*cosC,即tanA=3/tanC
证明的式子等号左边可转化为-cos2A=(sinA方-cosA方)/(sinA方+cosA方)=(tanA方-1)/(tanA方+1)
右边的同样转化为只有tanC的式子,再将上面tanA=3/tanC带入,证得两式相等