圆x2+y2=16,点A(2,0)……圆x2+y2=16,点A(2,0),若P、Q为圆上动点且AP与AQ垂直,求PQ中点轨迹

问题描述:

圆x2+y2=16,点A(2,0)……
圆x2+y2=16,点A(2,0),若P、Q为圆上动点且AP与AQ垂直,求PQ中点轨迹

(1)设PQ的中点为M(a,b).由题设可知,由动点P,Q和定点A确定的动圆圆心恰为点M,半径为|MA|。点P,Q则是动圆⊙M与圆x²+y²=16的交点。(2)易知,动圆M的方程为(x-a)²+(y-b)²=(a-2)²+b².化简即是⊙M:x²+y²-2ax-2by=4-4a.与x²+y²=16联立消去y,得:(a²+b²)x²-2a(2a+6)x+(2a+6)²-16b²=0.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则由韦达定理及中点公式得x1+x2=2a(2a+6)/(a²+b²)=2a.===>a²+b²-2a-6=0.即PQ中点M的轨迹方程为x²+y²-2x-6=0.化为标准形式即(x-1)²+y²=7.

设PQ中点M的坐标为(x,y)
依条件可设P(4cosθ1,4sinθ1),Q(4cosθ2,4sinθ2)
则由中点公式得x=2(cosθ1+cosθ2) ①
Y=2(sinθ1+sinθ2) ②
∵AP(向量)=(4cosθ1-2,4sinθ1),AQ(向量)=(4cosθ2-2,4sinθ2),且AP⊥AQ
∴AP(向量)•AQ(向量)=0
即(4cosθ1-2)(4cosθ2-2)+(4sinθ14sinθ2)=0
即(16cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)-8(cosθ1+cosθ2)+4=0 ③
①2+②2得x2+y2=4(2+2cosθ1cosθ2+2sinθ1sinθ2)
∴cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2=(x2+y2-8)/8 ④
将④、①代入③得2(x2+y2-8)-4x+4=0
即P、Q中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=7

你好,没人解答我来帮你吧,要及时采纳哦解: 设PQ中点M的坐标为(x, y), 利用三角函数换元法解决问题.依条件设P(4cosθ1, 4sinθ1) , Q(4cosθ2, 4sinθ2), 则由中点公式得x=2(cosθ1+ cosθ2) ① y=2(sinθ1+ sinθ...

设P,Q点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),由题意可得
x1^2+y1^2=16.....(1)
x2^2+y2^2=16.....(2)
ap=(x1-2,y1),aq=(x2-2,y2),AP⊥AQ所以
ap×aq=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0整理
x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0
2x1x2-4(x1+x2)+8+2y1y2=0....(3)
(1)+(2)+(3)得:
(x1+x2)^2+(y1+y2)^2-4(x1+x2)=24
设P,Q中点坐标为(x,y),有2x=x1+x2,2y=y1+y2,
所以得方程为
4x^2+4y^2-8x=24即x^2+y^2-2x-6=0
为圆心(1,0),半径为√7的圆(x-1)^2+y^2=7