函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.

问题描述:

函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.

∵函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,
∴(x-1)a≥-x2-3,当x∈[-2,2]时恒成立,
①当x∈(1,2]时,
a≥

−x2− 3
x−1
在x∈(1,2]恒成立
g(x)=
−x2−3
x−1
,x∈(1,2]即a≥g(x)max
∵g′(x)=
(x−3)(x+1)
(x−1)2
,∴(1,2]为增区间,g(2)最大,且为-7
∴a≥-7;
②当x∈[-2,1)时,
a≤
−x2− 3
x−1
在x∈[-2,1)恒成立
g(x)=
−x2−3
x−1
,x∈[-2,1),
即a≤g(x)min
g(x)=
−x2−3
x−1
在∈[-2,1)上的最小值为g(-1)=2,
∴a≤2;
综上所述,实数a的取值范围:[-7,2].
答案解析:由f(x)≥a恒成立对一切-2≤x≤2恒成立可得,下面对x进行分类讨论:①当x∈(1,2]时,a≥
−x2− 3
x−1
在x∈(1,2]恒成立;②当x∈[-2,1)时,a≤
−x2− 3
x−1
在x∈[-2,1)恒成立.分别求得a的范围,最后综上所述,即得实数a的取值范围.
考试点:函数恒成立问题;二次函数的性质.
知识点:本题主要考查了函数恒成立问题,此类问题常构造函数,转化为求解函数的最值问题:a>f(x)(或a<f(x))恒成立⇔a>f(x)max(或a<f(x)min),体现了转化思想在解题中的应用.