已知异面直线a与b成80°的角,p为空间一定点,则过点p与a,b所成的角都是50°的直线有且仅有(  )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条

问题描述:

已知异面直线a与b成80°的角,p为空间一定点,则过点p与a,b所成的角都是50°的直线有且仅有(  )
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

在空间取一点P,经过点P分别作a∥a',b∥b',
设直线a'、b'确定平面α,
当直线PM满足它的射影PQ在a'、b'所成角的平分线上时,
PM与a'所成的角等于PM与b'所成的角
因为直线a,b所成的角为80°,得a'、b'所成锐角等于80°
所以当PM的射影PQ在a'、b'所成锐角的平分线上时,
PM与a'、b'所成角的范围是[40°,90°).
这种情况下,过点P有两条直线与a',b'所成的角都是50°
当PM的射影PQ在a'、b'所成钝角的平分线上时,PM与a'、b'所成角的范围是[50°,90°).
这种情况下,过点P有且只有一条直线(即PM⊂α时)与a',b'所成的角都是50°
综上所述,过空间任意一点P可作与a,b所成的角都是50°的直线有3条
故选:C
答案解析:在空间取一点P,经过点P分别作a∥a',b∥b',设直线a'、b'确定平面α.由异面直线所成角的定义,得a'、b'所成锐角等于80°,经过P的直线PM的射影P在a'、b'所成锐角的平分线上时,存在两条直线与a',b'所成的角都是50°,当PM的射影PQ在a'、b'所成钝角的平分线上时,存在1条直线与a',b'所成的角都是50°,由此可得本题答案.
考试点:异面直线及其所成的角.


知识点:本题给出两条直线所成角为80°,求过空间一点P可作与a,b所成的角都是50°的直线的条数.着重考查了空间两条异面直线所成角及其求法等知识,属于基础题.