椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=√2/2,直线y=x+1交椭圆于A,B两点,且△AOB的面积等于2/3求椭圆的方程
问题描述：
椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=√2/2,直线y=x+1交椭圆于A,B两点,且△AOB的面积等于2/3
求椭圆的方程
答
c/a=√2/2，所以设a=2m，c=√2m，则b²=a²-c²=2m²，所以椭圆方程为x²/4m²+y²/2m²=1
把y=x+1代入x²/4m²+y²/2m²=1得到3x²+4x+2-m²=0
所以|AB|=√(1+1)*√[16-12(2-m²)]/3=2√(6m²-4)/3
O到直线AB的距离d=1/√2=√2/2
所以面积=2/3=1/2*(√2/2)*2√(6m²-4)/3，解得m²=2
所以椭圆方程为x²/8+y²/4=1
答
离心率e=c/a=√2/2,∴a^2=2c^2,b^2=c^2,设椭圆方程为x^2/2+y^2=c^2,把y=x+1代入上式得（3/2)x^2+2x+1-c^2=0,△=4-6（1-c^2)=6c^2-2,|AB|=[√（2△）]/(3/2),△AOB的面积=1/(2√2）*|AB|=2/3,∴6c^2-2=4,c^2=1.∴椭圆...