中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,点C满足向量OA+向量OB=2×向量OC,若AB=2√2,OC的斜率为1/2,O为原点,求椭圆方程
问题描述：
中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,点C满足向量OA+向量OB=2×向量OC,若AB=2√2,OC的斜率为1/2,O为原点,求椭圆方程
答
因为 OA+OB=2OC ,因此 OACB 是平行四边形,
OC 方程为 y=1/2*x ,与 x+y=1 联立得 x=2/3 ,y=1/3 ,也即 AB 中点坐标为（2/3,1/3）,
设 A（m,1-m）,则 B（4/3-m,m-1/3）,
由 |AB|=2√2 得 |AB|^2=(4/3-2m)^2+(4/3-2m)^2=8 ,
解得 m=5/3 或 m= -1/3 ,
即 A（5/3,-2/3）,B（-1/3,4/3）,
若设椭圆方程为 ux^2+vy^2=1 ,
则 25u/9+4v/9=1 ；
且 u/9+16v/9=1 ,
解得 u=3/11 ,v= 6/11 ,
因此所求方程为 x^2/(11/3)+y^2/(11/6)=1 .