如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP=1,PB=PD=2,E和F分别是CD和PC的中点.(1)求证:PA⊥底面ABCD;(2)求证:平面FBE∥平面PAD;(3)求三棱锥F-BCE的体积.

问题描述:

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP=1,PB=PD=

2
,E和F分别是CD和PC的中点.

(1)求证:PA⊥底面ABCD;
(2)求证:平面FBE∥平面PAD;
(3)求三棱锥F-BCE的体积.

(Ⅰ)证明:∵AB=AD=AP=1,PB=PD=

2

∴PA2+AD2=PD2,∴PA2+AD2=PD2
∴∠PAD=90°,∴PA⊥AD,
同理可得:PA⊥AB,AB∩AD=A
∴PA⊥底面ABCD.
(Ⅱ)证明:∵AB∥CD,CD=2AB,E是CD的中点,
∴ABED为平行四边形,
∴BE∥AD,
又∵BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
由于EF是△PCD的中位线,∴EF∥DP,
同理得∴EF∥平面PAD,
又EF∩BE=E,
∴平面FBE∥平面PAD.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知PA⊥底面ABCD,
由已知AP=1,F是PC的中点,得F到底面ABCD的距离为
1
2
PA=
1
2

由已知AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,AB=AD=1,
S△BCE=
1
2
×1×1=
1
2

∴三棱锥F-BCE的体积V=
1
3
×
1
2
×
1
2
1
12

答案解析:(Ⅰ)利用已知可得PA2+AD2=PD2,PA2+AD2=PD2,利用勾股定理的逆定理可得PA⊥AD,PA⊥AB,再利用线面垂直的判定定理即可证明;
(II)利用已知条件可得ABED为平行四边形,得到BE∥AD;利用三角形的中位线定理可得EF∥DP,再利用面面平行的判定定理即可证明;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知PA⊥底面ABCD,又已知AP=1,F是PC的中点,得F到底面ABCD的距离为
1
2
PA=
1
2
,利用三角形的面积公式得到△BCE的面积,利用三棱锥的体积公式得到三棱锥F-BCE的体积.
考试点:直线与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定.
知识点:本题综合考查了空间线面的平行与垂直的位置关系、三棱锥的体积计算公式等基础知识与基本技能,考查了空间想象能力和推理能力.