如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：平面PDC⊥平面PAD． （3）求四棱锥P-ABC
问题描述：
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
2
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（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD．
（3）求四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD．
答
（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD …（4分）
（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，…（7分）
又CD⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC．…（8分）
（3）∵PA＝PD＝
AD＝
2
2
，∴PA2+PD2=AD2，
2
∴PA⊥PD，S△PAD＝
(1 2
)2＝1，…（10分）
2
又由（2）可知CD⊥平面PAD，CD=2，…（11分）
∴VP−ADC＝VC−PAD＝
×1×2＝1 3
，…（13分）2 3
∴VP−ABCD＝2VP−ADC＝2×
＝2 3
．…（14分）4 3