在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）． （Ⅰ）设bn=an+1-an（n∈N*），证明{bn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q
问题描述：
在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）设bn=an+1-an（n∈N*），证明{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项．
答
（Ⅰ）证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1，n≥2．
又b1=a2-a1=1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a2-a1=1，a3-a2=q，
…
an-an-1=qn-2，（n≥2）．
将以上各式相加，得an-a1=1+q+…+qn-2（n≥2）．
所以当n≥2时，an＝
1+
，q≠11−qn−1
1−q n，q＝1
上式对n=1显然成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1．
由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8，由q≠0得q3-1=1-q6，①
整理得（q3）2+q3-2=0，解得q3=-2或q3=1（舍去）．于是q＝−
．
3
2
另一方面，an−an+3＝
＝
qn+2−qn−1
1−q
(q3−1)，an+6−an＝qn−1 1−q
＝
qn−1−qn+5
1−q
(1−q6)．qn−1 1−q
由①可得an-an+3=an+6-an，n∈N*．
所以对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项．