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如图，以AB为直径的半圆O上有一点C，过A点作半圆的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：△ADC∽△BDA；（2）过O点作AC的平行线OF分别交BC，BC于E、F两点，若BC=23，EF=1，求AC的长．

分类: 作业答案 • 2022-05-31 14:15:33

问题描述：

如图，以AB为直径的半圆O上有一点C，过A点作半圆的切线交BC的延长线于点D．

（1）求证：△ADC∽△BDA；
（2）过O点作AC的平行线OF分别交BC，

BC

于E、F两点，若BC=2

3

，EF=1，求

AC

的长．

答

（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
∵AD为半圆O的切线，
∴∠BAD=90°，
∴∠ACD=∠BAD．
又∵∠ADC=∠BDA，
∴△ADC∽△BDA．
（2）连接OC，
∵OE∥AC，
∴OE⊥BC，
∴BE=EC=

3

．
在Rt△OBE中，设OB=x，则有：x²=（

3

）²+（x-1）²∴x=OB=2，
∴OE=1，
∴∠OBE=30°，
∴∠AOC=60°，
∴

AC

的长=

60π×2

180

=

2π

3

．