如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为F. (1)求证:DF是⊙O的切线; (2)若AE=DE,DF=2,求⊙O的半径.

问题描述:

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为F.

(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若

AE
=
DE
,DF=2,求⊙O的半径.

(1)证明:连接OD,如图,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∵OD=OB,
∴∠B=∠1,
∴∠C=∠1,
∴OD∥AC.
∴∠2=∠FDO,
∵DF⊥AC,
∴∠2=90°,
∴∠FDO=90°,
∵OD为半径,
∴FD是⊙O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AC=AB,
∴∠3=∠4.
∴弧ED=弧DB
而弧AE=弧DE,
∴弧DE=弧DB=弧AE,
∴∠B=2∠4,
∴∠B=60°,
∴∠C=60°,△OBD为等边三角形,
在Rt△CFD中,DF=2,∠CDF=30°,
∴CF=

3
3
DF=
2
3
3

∴CD=2CF=
4
3
3

∴DB=
4
3
3

∴OB=DB=
4
3
3

即⊙O的半径为
4
3
3