如图：是y=f（x）=a3x3-2x2+3a2x的导函数y=f′（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间；（2）求实数a的值．
问题描述：
如图：是y=f（x）=
x3-2x2+3a2x的导函数y=f′（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）a 3 
（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间；
（2）求实数a的值．
答
（1）由f（x）=
x3-2x2+3a2x的导函数y=f'（x）的图象可知：导函数f'（x）小于0的解集是（1，3）；a 3
函数f（x）=
x3-2x2+3a2x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正．a 3
即函数在x=3处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3）．
（2）由于f（x）=
x3-2x2+3a2x的导函数f'（x）=ax2-4x+3a2，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0a 3
则
解得 a=1．
f′(1)＝a−4+3a2＝0 f′(3)＝9a−12+3a2＝0
则实数a的值为1．
答案解析：（1）先利用其导函数f'（x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极值．（注意是在定义域内研究其单调性）
（2）由图知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入导函数解析式得到关于a的方程，解出即可．
考试点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．