在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上如图在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上O为原点点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动同时动点N从点A出发沿AB向终点B以每秒3分之5个单位的速度运动当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动设动点M、N运动的时间为t秒t >0.1当t=3时直接写出点N的坐标并求出经过O、A、 N三点的抛物线的解析式2在此运动的过程中△MNA的面积是否存在最大值若存在请求出最大值若不存在请说明理由 3当t为何值时△MNA是一个等腰三角形.

问题描述:

在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上
如图在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上O为原点点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动同时动点N从点A出发沿AB向终点B以每秒3分之5个单位的速度运动当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动设动点M、N运动的时间为t秒t >0.1当t=3时直接写出点N的坐标并求出经过O、A、 N三点的抛物线的解析式2在此运动的过程中△MNA的面积是否存在最大值若存在请求出最大值若不存在请说明理由 3当t为何值时△MNA是一个等腰三角形.

(1)由题意,A(6,0)、B(0,8),则OA=6,OB=8,AB=10;
当t=3时,AN= t=5= AB,∴N(3,4).
设抛物线的解析式为:y=ax(x﹣6),则即N是线段AB的中点
∴N(3,4).
4=3a(3﹣6),a=-4/9
∴抛物线的解析式:y=-4/9x(x﹣6)=-4/9x²+ 8/3x
(2)过点N作NC⊥OA于C;
由题意,AN= t,AM=OA﹣OM=6﹣t,NC=NAsin∠BAO=5/3 t ·4/5= 4/3t;
则:S△MNA= 1/2·AM·NC= 1/2×(6﹣t)×4/3 t=﹣2/3(t﹣3﹚²+6.
∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6.
(3)Rt△NCA中,AN= 5/3t,NC=AN·sin∠BAO=4/3 t,AC=AN·cos∠BAO=t;
∴OC=OA﹣AC=6﹣t,∴N(6﹣t,4/3t).
∴NM=√﹙6-t-t﹚²+﹙4/3t﹚²=√52/9t²-24t+36
又:AM=6﹣t,AN= 5/3t(0<t<6);
①当MN=AN时,√52/9t²-24t+36
=5/3 t,即:t2﹣8t+12=0,t1=2,t2=6(舍去);
②当MN=MA时,√52/9t²-24t+36
=6﹣t,即:t²﹣12t=0,t1=0(舍去),t2=108/43 ;
③当AM=AN时,6﹣t= 5/3t,即t=9/4 ;
综上,当t的值取 2或 9/4或 108/43时,△MAN是等腰三角形