设函数,其中常数a>1,f(x)=13x3-(1+a)x2+4ax+24a(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.

问题描述:

设函数,其中常数a>1,f(x)=

1
3
x3-(1+a)x2+4ax+24a
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.

(1)f'(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)由a>1知,当x<2时,f'(x)>0,故f(x)在区间(-∞,2)是增函数;当2<x<2a时,f'(x)<0,故f(x)在区间(2,2a)是减函数;当x>2a时,f'(x)>0,故f(x)...
答案解析:(1)先对函数进行求导,根据导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性.
(2)先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题,再结合(1)中的单调性可确定f(x)在x=2a或x=0处取得最小值,求出最小值,即可得到a的范围.
考试点:利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.
知识点:本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性.